紐英倫園地: 科學與信仰 奇妙的數學

2014年8月
文/黃小石

1匈牙利物理學家尤金.維格納說:「數學能如此簡潔地 陳述物理定律的奇蹟,是我們不配得、也不明白的奇妙禮 物。」

◎黃氏多角形定理

初中寒假,在懶洋洋的清早,我躲在被窩裡捨不得起 床。呆呆地望著窗外晦澀的天空,樹枝從窗子的右上方劃 過,顯出一個五角形。 望著那隨風移動的五 角形,忽然悟到: 任何一個五角形 的內角和,必 然是540 度,因為它 總是由三個三角形形成,而每個三角形的內角和總是180 度!

我急忙地起床,在紙頭上畫些其他的多邊形,然後將它 們分割成不重疊的三角形,接著就發現一個漂亮的定理: 任何凸變形的內角和,必是180x(n-2)度。這將稱為有 名的「黃氏多角形定理」。

我跑到學校告訴老師。老師說很好,但這定理早已存在, 且是眾所周知的事。我大失所望,怎麼這麼巧,我想出來 的定理別人早想出來?老師又問我,能否證明這定理總是 對的。我想,這顯而易見的事哪還要證明?

可是,真要確實地證明這定理,卻不是容易的事。當時, 我似懂非懂地了解了一件事:人只是「發現」了數學定理, 但卻需「發明」證明這定理的方法。比方我們相信任何偶 數都可寫成兩個質數的和,例如:8=5+3,但至今還沒人 能證明這是個定理。

◎恰似考古學家

數學定理似乎是「自己 存在」的,我們可以看到 (相信)它,但不見得能 了解(證明)它。在許多 古文明中,都有數學方面 的研究。粗略來看,抽象 的數學像是人類思想的結晶,但不同的人所得出的結論卻都一樣。 比方中國《周髀算經》中的「勾股定理」,提出直角三 角形「勾三股四弦五」的道理:直邊(勾與股)的邊長分 別為三與四,斜邊(弦)邊長便必然是五,並指出「勾股 各自乘,並之,為弦實;開方除之,即弦」的通例。 直角三角形的特質,如:直邊平方和等於斜邊平方的基 本定理,在古巴比倫、古埃及、古希臘等文明中亦曾論 述,其中最有名的便是公元前六世紀希臘的畢達哥拉斯定 理(Pythagoras Theorem)。

人們在不同的地方、時間、文化中,導出的數學定 理都一樣,而且幾千年來沒有改變,既說明這是人類 共同的發現,也說明數學定理早已存在,並不會因時 間長遠而變更。1983 年諾貝爾物理獎得主昌德拉塞卡 (Subrahmanyan Chandrasekhar) 曾說:「每當我發現一 個新的定理,都覺得這些真理本已存在,只不過被我撿到 罷了。」這樣,科學家便有點像考古學家──挖掘出宇宙 中隱藏的寶貝。

◎宇宙通用語文

許多人相信,外太空人的數學也與我們一樣,所以數學 可算是「宇宙通用語文」。伽利略曾說:「『哲學』的語 文是數學。」英國理論物理學家巴羅(John D Barrow) 教 授指出:「我們對『自然』最準確的陳述,都是數學的論 說,但我們卻不知道數學到底是什麼。」

何以人的理性抽象思考與自然界的真實現象,有這麼密 切的關係?理性與自然,似乎同出一源。愛因斯坦的「質 能轉換公式(E=MC2)」準確地反映出自然界最基本的運 作;狄拉克公式預測「反電子(正子)」的存在,是他本 人都難以相信的發現……

為此,維格納博士感恩地說:「數學用在自然科學上, 何以竟有如此驚人的效用?……數學能如此簡潔地陳述物 理定律的奇蹟,是我們不配得也不明白的奇妙禮物。」愛 因斯坦也說:「數學只不過是一種人類思想的產物,與他 的經歷並沒有關係,卻怎麼會與實存配合得如此精美緊 密?」麻省理工學院物理學家特格瑪克(Max Tegmark) 則認為,宇宙不只是藉著數學來陳述,它本身便是數學。

◎上帝是數學家?

有人說上帝是數學家,祂的思想便是數學,這話過分 抬舉數學了。20 世紀最有名的數學定理「哥德爾(Kurt Godel) 不完備定理」:任何一個數學(邏輯)公理系統, 若不自相矛盾,則必不「完備」。即:在這系統中,必有 些真理是這系統所不能證實的。更準確地說,這系統中必 有些陳述,是不能證明真偽的。

當《聖經》記述上帝以祂的話來創造宇宙時,提及「太 初有道」。「道」在希臘文是「logos」,含義很廣,不但是「話」, 也代表說話者 的意願、旨 意, 更是「規 條」、「邏輯」 和「理性原 則」。上帝以 這「道」來創 造宇宙,必然 含有極大的邏輯性(理性),與民間神話中的「宇宙起源 說」有天淵之別。

人從數學中得著智慧,在乎知道自己的局限與不完全, 與全能者的「無所不知」不能比擬!

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