「瘋子不是沒有理性的人，瘋子是只剩下理性的人。」——切斯特頓(G. K. Chesterton)

一加一是什麼？

1+1是什麼？也許沒有比這更容易的數學題目了，但是若真要證明這一點，可能需要費些周章。許多看似顯而易見的事，往往最難闡明。我們以為自己「當然知道」的事，往往也是最需要深思的事。

好吧，還是先試試容易一點的：1+1=2。你說：我有一個蘋果，再拿一個蘋果，不就有了兩個蘋果嗎？證明完畢。

但是如果你有一個蘋果，再拿一個橘子呢？你仍然只有一個蘋果。你可能會說：「沒錯，但我原來只有一個水果，現在有兩個水果了。」那麼，如果你有一個蘋果，再加上一份蘋果派食譜呢？現在你到底有兩個什麼？

再比如，你有一滴水，再加一滴水，結果仍是一滴水；你若有一個無限大，再加上一個無限大，仍然只是無限大。可能你回說：「不跟你玩了！」

證明1+1=2

上世紀有兩位數學家（同時也是哲學家、邏輯學家）——懷特海(Whitehead)和他的學生羅素(Russell)，真的嚴謹地證明了1+1=2。他們的論文發表在《數學原理》一書中，整整花了三百多頁篇幅。

為什麼這麼難？因為首先需要定義什麼是「數字」：到底「1」是什麼？「2」是什麼？「加」與「等於」又是什麼？沒有這些嚴格的定義，就無法證明1+1=2。他們使用「集合論(Set Theory)」的方式來理解數目。例如：「1」定義為「僅包含『空集』的集合」，「2」則是「『僅包含空集的集合』與『空集』所構成的集合」。若讀者覺得像繞口令，他們的證明的確就是由這類「口令」組成，長達三百多頁。筆者學的是物理學，對「懷特海–羅素的證明」實在是消化不良。

然而，我們知道他們的結論是對的，因為我們本來就知道1+1=2。若他們得出相反的結果，我們就知道這套「口令」是錯的。這正是知識論的難題：若不先知道一些真理，就無法判斷我們尋找真理的方法是否正確。

數學不可思議的有效性

尤金‧維格納(Eugene Wigner)是一位美籍匈牙利物理學家，曾在1963年獲得諾貝爾物理獎，尤其是因為他對量子力學的數學基礎的重大貢獻。他在1960年發表了著名文章《數學在自然科學中的不可思議的有效性》，指出：數學這門人類創造的抽象學問，竟然能如此精準地描述自然界現象，實在令人難以理解。

英國物理學家狄拉克(Dirac)、1933年諾貝爾獎得主，曾說：「上帝是一位極高明的數學家，祂在構造宇宙時，運用了高深的數學。」他與愛因斯坦一樣，認為一個方程式是否正確，往往可由它是否「美」來判斷。這些科學家即使不信上帝，也明白宇宙並非隨機偶然，而是在智慧中形成的。

其實，上帝豈止是一位高明的數學家？所有高明的數學家，都是祂所創造的。

數學的限制

偉大的德國數學家希爾伯特(Hilbert)，被譽為「現代數學之父」，曾相信數學能證明一切邏輯真理。他關注數學是否「完全」、是否「自洽」、是否「可判定」。然而，1931 年哥德爾(Gödel)發表「不完備定理」，證明存在無限多的真實數學命題，卻無法用數學方法證明，徹底打碎了希爾伯特的夢想。

希爾伯特墓碑上刻着：「我們必須知道，我們將會知道。」但事實是，有些事我們非常想知道，卻註定不能知道，因為「我們不過是人」。拉丁諺語說：「我們現在不知道，將來也不會知道。」或許更為貼切。

心中真理的聖靈

我們之所以要用最嚴謹的數學來證明1+1=2，這並不是因為我們不知道1+1=2，而正是因為我們知道這是如此，但是我們對這「嚴謹」的數學推理方法是不是可靠，卻沒有完全的把握。用這推理的方式（學術與邏輯）我們可以證明我們知道是對的，給了我們更多的把握知道，若用這推理所得到的一些其他想像不到的結果也是可靠的。正是因為我們先知道了一些真理，我們才能分辨我們用的「學術」是否是對的。我們能先知道一些真理，正是因為上帝真理的靈在人心中引導着我們。

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