智慧之窗: (科學與信仰) 奇妙的數學

2014年6月
文/黃小石

1406_15a「數學能如此簡潔地陳述物理定律的奇蹟,是我們不配得、也不明白的奇妙禮物。」──匈牙利物理學家尤金.維格納

唸初中時,在學校放寒假時的一個懶洋洋的清早,我躲在被窩裡捨不得起床。我呆呆地望著窗外晦澀的天空,一枝樹枝從窗子的右上方畫過去,顯出一個五角形來。我望著那隨風移動的五角形,忽然領悟到一件事:任何一個五角形的內角和,必然是540度。因為一個五角形總是由三個的三角形所形成的,而每個三角形的內角和總是180度。於是,我急忙地起床,在紙頭上畫些其他的多邊形,然後將它們分割成一些不重疊的三角形,發現一個漂亮的定理:任何凸變形的內角和,必是180x(n-2)度,這將稱為有名的「黃氏多角形定理」。

後來,我跑到學校告訴老師,老師說很好,但這定理早便存在了,也是眾所週知的事。我聽了大為失望,心想怎麼這麼湊巧,我想出來的定理,別人早也想出來?老師又問我,能否證明這定理總是對的。我心想,這顯而易見的事哪裡還要證明?可是,真要確實地證明這定理,卻倒不是容易的事。

先存數學定理

當時,我似懂非懂地了解一件事:人只是「發現」了數學定理,但卻「發明」了證明數學定理的方法。我們能直覺地知道某些定理(真理),但卻沒有很好的理由來知道那定理為何是對的。這類的例子相當多,比方我們相信任何偶數都可寫成為兩個質數的和,例如:8=5+3,但至今,還沒有人能證明這是個定理。數學定理似乎是它「自己存在」的,我們可以看到(相信)它,但不見得能了解(證明)它。它若是自己存在的話,便不是人想出來的東西。那麼,它是從哪裡來的?

恰似考古學家

在許多的古文明中,都有數學方面的研究。粗略來看,抽象的數學像是人類思想的結晶,但不同的人所得出的結論,卻都是一樣的。比方中國《周髀算經》中的「勾股定理」,提及直角三角形中「勾三股四弦五」的道理:即若直邊(勾與股)的邊長分別為三與四,其直角三角形的斜邊(弦)邊長便必然是五,並指出這不是個特例,說出「勾股各自乘,並之,為弦實,開方除之,即弦」的通例。《周髀算經》相傳是三千年前周公所著的,也有說是西漢末期(公元前1世紀)的作品,是許久以前的事了。直角三角形的一些特質,比方直邊平方和等於斜邊平方的基本定理,在古巴比倫、古埃及、古希臘等的許多古文明中都曾論述。其中最有名的,便是公元前六世紀希臘的畢達哥拉斯定理(Pythagoras Theorem)。

這些人在不同的地方、時間、文化中導出來的數學定理,都是一樣的。而且,幾千年來都歷久常新,沒有改變,說明了這是人類共同的發現。數學定理早已存在,且並不會因時間的長遠而更變。1983年,諾貝爾物理獎得主昌德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar)曾說:「每次當我發現一個新的定理,我都覺得這些真理本來便已存在,只不過被我撿到罷了。」這樣,科學家便有點像考古學家,挖掘宇宙中隱藏的寶貝。

宇宙通用語文

許多人都相信外太空人的數學也必與我們的一樣,所以數學可以算是一種「宇宙通用語文」。伽利略曾說:「『科學』(「科學」是個現代名詞,伽利略在他的Assayer原文中用「哲學」)的語文是數學。」英國理論物理學家巴羅(John D Barrow)教授指出:「我們對『自然』最準確的陳述,都是數學的論說,但我們卻不知道數學到底是甚麼。」何以人理性的抽象思考,卻與自然界真實的現象有著這麼密切的關係?理性與自然,似乎同出一源。為此,維格納博士很感恩地說:「數學能如此簡潔地陳述物理定律的奇蹟,是我們不配得也不明白的奇妙禮物。」

配合精美緊密

如果我們把數學看成是一種實存,我們可以問它與別的實存有何關係。愛因斯坦的「質能轉換公式」(E=MC2)準確地反映出自然界最基本的運作。狄拉克公式預測「反電子」(正子)的存在,這是狄拉克本人都不能相信的發現。無怪乎偉大的理論物理學家維格納感慨地說:「數學用在自然科學上,何以竟有如此驚人的效用?」這是一件甚至愛因斯坦也不敢相信的事,但他也曾說:「數學只不過是一種人類思想的產物,與他的經歷並沒有關係,卻怎麼會與實存配合得如此精美的緊密?」也許,真的便如那位曾當霍金博士的老師彭羅斯教授所說:「物質世界與數學世界是同一個的世界」。

我們所存在的空間,真如愛因斯坦所說「是彎曲」的嗎?這便要看三角形的內角和,是否真的便是180度了。我們若在空間中用雷射光畫一個極大的三角形,然後用最精確的分角儀來測量這三角形的內角和。若真的剛好是180度的話,我們便知道我們所處的空間是「平的」,正如歐幾里德平面幾何所說的。如果這巨無霸三角形的內角和大於180度,則空間是「向內」彎的。

設想我們活在二度的空間中,若這空間是一個球面,像地球一般,我們從北極在球面上往正東畫一條直線,當這線與赤道相交時,我們再轉90度往西邊畫一條直線,與先前那條從北極下來的線一樣長,這時再轉90度向北畫一條線,便又會回到北極,與第一條線成90度相交,這個在球面上的大三角形的內角和卻是270度(圖一)大於180度,顯明出空間的曲度是正的。數學與實存是有不能分割的緊密關係。麻省理工學院的物理學家特格瑪克(Max Tegmark)認為,宇宙不只是藉著數學來陳述,它本身便是數學。

上帝是數學家?1406_15b

當《聖經》記述上帝以祂的話來創造宇宙時,提及「太初有道」。「道」在原來的希臘文是「l ogos」,其含義很廣,不但是「話」的意思,也代表說話者的意願、旨意,也是一種包括「規條」、「邏輯」和「理性的原則」等的意思。上帝藉著這「道」來創造宇宙,祂的創造也必然含有極大的邏輯性(理性),與一般民間神話中的「宇宙起源說」有天淵之別。

有人說上帝是位數學家,祂的思想便是數學,這話是過分抬舉數學了。二十世紀最有名的數學定理「哥德爾(Kurt Godel)不完備定理」:任何一個數學(邏輯)公理系統,若不自相矛盾,則必不「完備」。這便是說在這系統中必有些真理,是這系統所不能證實的。更準確地說,這系統中必有些陳述,是不能證明是真或是偽的。人從數學中得著智慧,在乎知道自己的限制與不全,與全能者的「無所不知」,是不能比擬的。

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